全国2017年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

说明：在本卷中，A^T表示矩阵A的转置矩阵，A^*表示矩阵4的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。

选择题部分

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。

一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。

1.设A,B是n阶可逆矩阵，下列等式中正确的是

A. (A+B)^-1 =A^-1 +B^-l          B.(AB)^-1=A^-1B^-1

C. (A－B)^-1 =A^-l－B^-1         D. (AB)^-1=B^-1A^-1

2.设A为3阶矩阵且r(A)=l,B=  ,则r(BA)=

A. 0         B. 1          C. 2            D. 3

3.设向量组α¹=（1,2,3），α²=（0,l,2），α³=（0,0,l），β=（1,3,6），则

A. α¹,α²,α³,β线性无关

B. β不能由α¹,α²,α³线性表示

C. β可由α¹,α²,α³线性表示，且表示法惟一

D. β可由α¹,α²,α³线性表示，但表示法不惟一

4.设A为4×5矩阵且r(A)=4,则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数为

A. 1         B. 2         C. 3         D. 4

5.设3阶矩阵A的特征多项式为|λE-A|=(λ-2)(λ+3)²,则|A+E| =

A. -18        B. -12         C. 12          D. 18

非选择题部分

注意事项：用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。

6.行列式  的值为________.

7.设A为3阶矩阵，|A|=1,则|-2A|=________.

8.设n阶矩阵A的所有元素都是1,则r(A)=________.

9.设A为3阶矩阵，将A的第1行与第2行交换得到矩阵B,则|A-B|=________.

10.设 3 维向量α=(3,-1,2)^T，β=(3,1,4)^T ,若向量γ满足2α+γ=3β ,则γ=________.

11.已知线性方程组  无解，则数α=________.

12.设向量α=(1,1,3)，β=(1,-1,1)，矩阵A=α^Tβ，则矩阵A的非零特征值为________.

13.已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3,且矩阵B与A相似，则|B²+E|=________.

14.已知向量组α1=(l,2,3)，α2=(2,2,k)正交，则数k=________.

15.已知3阶实对称矩阵A的特征多项式|λE-A| =(λ-l)(λ+2)(λ-5)，则二次型ƒ(x₁,x₂,x₃)=x^TAx的正惯性指数为________.

三、计算题：本大题共7小题，每小题9分，共63分。

16.计算4阶行列式  的值。

17.已知矩阵A=(2,1,0)，B=(1,2,3)，ƒ(x)= x²-5x + 1,求A^TB及ƒ(A^TB)。

18.已知矩阵A,B满足AX=B,其中A=  ,B=  ,求X.

19.求向量组α₁=(1,1,1,0)^T,α₂=(-1,-3,5,4)^T,α₃=(2,1,-2,-2)^T,α₄=(-1,-5,11,8)的一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量用该极大线性无关组线性表出。

20.设3元齐次线性方程组  ,确定α为何值时，方程组有非零解，并求其通解。

21.设矩阵A=  ,求可逆矩阵P和对角矩阵Λ，使得P^-1AP=Λ。

22.已知ƒ(x₁,x₂,x₃)=x₁²+4x₂2+2x₃²+2tx₁x₂-2x₁x₃为正定二次型，（1）确定t的取值范围；（2）写出二次型ƒ(x₁,x₂,x₃)的规范形。

四、证明题：本题7分。

23.证明矩阵A=  不能对角化。