一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1. 设集合A中含有3个元素，集合B中含有4个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有______个元素。（      ）

A. 3  B. 4

C. 7  D. 12

2．设A＝B＝R (实数集)，如果A到B的映射

：x→2x，  x∈R，

则 是从A到B的______。（      ）

A. 满射而非单射 B. 单射而非满射

C. 一一映射  D. 既非单射也非满射

3. 设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，则S3的子群共有______个。 （      ）

A. 2  B. 4

C. 6 D. 8

4．设Z 12是以12为模的剩余类加群，那么，Z 12的生成元共有______个。  （      ）

A. 4 B. 6 

C. 8   D. 12

5. 设I1，I2是环R的两个子环，0是环R的零元素，那么在下列集合中，______未必是环R的子环。 （      ）

A. I1 I2＝{x | x∈I1或x∈I2} B. {0} 

C. I1 I2＝{x | x∈I1且x∈I2}   D. 环R本身

二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6. 设“ ”是集合A×A到A的一个代数运算，如果对于 a，b，c∈A，“ ”满足______，则称代数运算“ ”适合结合律。

7. 设(G，?)是一个群，则对于 a，b，c∈G，方程ax＝b和ya＝b在G中有唯一解，那么，这两个方程的解分别为______。

8. 设 ＝(5234)， ＝(135)∈S5，那么， ＝______(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。

9. 设Z12＝{[0]，[1]，[2]，…，[11]}是以12为模的剩余类加群，那么，Z12的子群共有______个。

10. 在3次对称群S3中，设子群H＝{(1)，(23)}，则子群H关于元素 (132) 的右陪集H(132)＝______。

11. 设 (R，＋，?)是一个至少含有两个元素的环，如果R满足______，则称R是一个除环。

12. 设Z6＝{[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]}是以6为模的剩余类环，那么，在Z6的子集

{[0]，[2]，[4]}， { [1] }， {[0]，[3]}

中，______不是Z6的子环。

13. 设F是一个域，则F的理想有______个。

14. 设Z[x]是整系数多项式环，f (x)＝6x2－24，则f (x)在Z[x]中的不可约分解为______。

15. 已知 ，i是有理数域Q上的两个代数元，则Q ( ，i)在有理数域Q上的扩域次数：

(Q ( ，i) : Q)＝______。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

16．设Z9为以9为模的剩余类加群，即Z9＝{[0]，[1]，[2]，…，[8]}。

找出Z9的全部生成元，并找出Z9的所有子群。

17．设数集G＝{2m3n | m，n∈Z}，已知G关于数的乘法作成群。作G到G的映射：2m3n→2m， 2m3n∈G，验证 是G到G的一个同态映射，且求映射 的核Ker 。

18．设Z5[x]为以5为模的剩余类环Z5＝{ }上的一元多项式环，在Z5[x]中化简(给出化简的步骤)：。

四、证明题（本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分）

19．设G是一个群，a，b∈G，如果元素a的阶为3，b的阶为4，且ab＝ba，证明：ab的阶为12。

20．设H是循环群G的子群，证明：H也是循环群。

21．设已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明：I是R的一个子环，但不是理想。