2021年10月自考《数论初步》模拟试题（一）

第一部分 选择题

一、单项选择题(本大题共30小题，每小题1分，共30分。在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内)

1.m，n为整数，下列式子一定不可能成立的是( )

A.m-n=3 B.m+2n=5

C.2m+n=1/2 D.m+n=0

2.若a,b,c均为整数，且a+b被c整除，则下列一定成立的是( )

A.c|a B.c|b

C.c|a-b D.c|a2-b2

3.相邻两个整数之和与相邻两个整数之积分别是( )

A.奇数 奇数 B.奇数 偶数

C.偶数 奇数 D.偶数 偶数

4.m为奇数时，模m的绝对最小完全剩余系是( )

A.1,2,3,…,m-1,m B.-m,-(m-1),…,-2,-1

C.

,…,-1,0,1,…

D.

,…,-1,0,1,…

5.下列不属于二元二次不定方程的是( )

A.xy=5 B.x2+y2=16

C.2x2+y=8 D.

6.已知a=-81,b=16,a被b除的带余除法表达式为a=bq+r，则( )

A.q=-6 r=15 B.q=-5 r=-1

C.q=-4 r=-17 D.q=-7 r=31

7.11与-10以下列( )数为模时同余?

A.2 B.7

C.10 D.5

8.已知(a,b,c)=1,则一定有( )

A.(a,b)=1 B.(b,c)=1

C.(a,c)=1 D.((a,b),c)=1

9.所有不超过152的自然数中，5的倍数有( )个。

A.28 B.29

C.30 D.31

10.18的正约数个数是( )

A.4 B.5

C.6 D.7

11.若x为自然数，y为正实数，且x≤y，则下列结论不一定成立的是( )

A.〔x+y〕=x+〔y〕 B.〔-(x+y)〕=-〔x+y〕

C.x≤〔y〕 D.〔xy〕≥x〔y〕

12.下列关于质数、合数的说法，正确的是( )

A.两个质数之和一定是质数 B.质数一定是奇数

C.两个合数之和一定是合数 D.两个质数之积一定是合数

13.已知(a,c)=1,(b,c)=1,则下列结论不一定正确的是( )

A.(ab,c)=1 B.(a+b,c)=1

C.(ac,a+c)=1 D.(c,b+c)=1

14.对于自然数n,下列结论不一定正确的是( )

A.(n,n+1)=1 B.(n,2n+1)=1

C.(n-1,n+1)=1 D.若p为大于n的质数，则(n,p)=1

16.两个非零整数a,b，满足ab=a+b,则2a-b=( )

A.4 B.6

C.2 D.-2

18.设p为质数，则形如( )的数是梅森数。

A.2p-1 B.2p-1

C.2p+1 D.

19.设a是大于1的自然数，p是a的大于1的最小约数，则p一定是( )

A.偶数 B.2

C.质数 D.合数

20.若2|4a-6b+c，则以下一定成立的是( )

A.2|a B.2|2a-3b

C.2|2a+3c D.2|b

21.若a为整数，n为任意自然数，以下关于奇、偶数的说法错误的是( )

A.若an为奇数，则a必为奇数

B.n个奇数与n个偶数之和必为奇数

C.n2+n一定是偶数

D.n5+n一定为偶数

22.九位数

能被2整除，同时又能被3整除，则a为( )

A.8 B.3

C.4 D.6

23.3在50!的标准分解式中的最高幂指数是( )

A.23 B.22

C.24 D.12

24.若ab≡ac(modm),则下列式子不一定成立的是( )

A.a2b2≡a2c2(modm) B.m|a(b-c)

C.2ab≡2ac(modm) D.b≡c(modm)

25.下列式子成立的是( )

A.15≡-1(mod7) B.165≡2(mod7)

C.523≡75(mod7) D.1095≡874(mod7)

26.下列同余式无解的是( )

A.3x≡2(mod6) B.28x≡21(mod35)

C.8x≡9(mod11) D.78x≡30(mod198)

27.同余式28x≡21(mod35)解的个数是( )

A.1 B.7

C.3 D.0

28.下列不定方程一定无整数解的是( )

A.3x+14y=1 B.12x+30y=5

C.6x+9y=15 D.15x+16y=17

30.若今天是星期四，则1000天后的那一天是( )

A.星期四 B.星期三

C.星期二 D.星期五

第二部分 非选择题

二、填空题(每小题1分，共10分)

31.若对于两个正整数a和b，ab=60,而〔a,b〕=15,则(a,b)=_________________。

32.若p为质数，则pk的所有正约数之和为_____________________。

34.素数模p的最小正简化剩余系是____________________。

36.若(a,b)=1,则(a+b,a-b)=_________________________。

37.2001!末尾0的个数是________________________。

38.若n为自然数，(21n+4,14n+3)=_______________________。

39.若p、q均为小于100的质数，p·q-1=x为奇数，则x的最大值为_____________。

40.不超过24而与24互质的正整数的个数是_____________________。

三、计算题(每小题8分，共32分)

41.求31202的十进位表示中的个位数字

42.解同余方程：63x≡27(mod72)

43.求不定方程：-15x+25y=-100的全部整数解

四、证明题(每小题8分，共16分)

45.已知n为自然数，求证5!|n5+4n-5n3

46.证明对于每个整数n,都有4|n2+2

五、综合应用题(共12分)

47.若整系数二次三项式f(x)=x2+bx+c,当x=0,x=1时的值均为奇数，证明：方程f(x)=0没有整数根。

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